Salamat datang...

pada pembahasan kali ini kita akan mendalami tentang  kombinatorik dan teorema binomial.langsung saja kita lihat penjelasan dibawah ini

1.      Kombinatorik

Aturan Dasar Menambah

Jika kita mempunyai dua himpunan yang tidak mempunyai unsur bersama (saling lepas), maka jumlah anggota dari dua himpunan ini adalah jumlah dari banyak anggota dari masing-masing himpunan.

contoh.
Ada dua cara untuk pergi dari Jakarta ke Pontianak, yaitu menggunakan kapal terbang atau kapal laut. Untuk Kapal terbang ada 4 penerbangan, dan kapal laut ada 3 kapal. Berapa banyak cara untuk pergi dari Jakarta ke Pontianak.

Jawab.
Karena cara bepergian dari Jakarta ke Pontianak dengan udara dan laut merupakan dua hal yang terpisah, maka banyaknya cara tinggal dijumlahkan, yaitu 4 + 3 = 7 cara.

Aturan Dasar Mengalikan

Misalkan ada suatu prosedur (urutan pengerjaan) yang dapat dilakukan dalam dua langkah yang saling lepas (tidak bergantung). Jika langkah pertama ada  dan langkah kedua ada cara, maka prosedur tersebut dapat dilakukan dengan  cara.

Contoh.
Misalkan kita pergi dari kota A ke C dan harus melalui kota B. Dari kota A ke kota B ada 3 jalan, dan dari kota B ke kota C ada 2 jalan. Ada berapa cara bepergian dari kota A ke kota C yang melalui kota B.

Jawab.
Setelah kita memilih jalan dari A ke B, pilihan jalan dari B ke C tidak tergantung pada pilihan pertama. Dengan demikian menurut aturan perkalian, banyaknya cara dari kota A ke C melalui B adalah 3.2 = 6 cara.

Contoh.
Diketahui angka 1,2,4,5,6,8,9. Tentukan banyaknya semua bilangan yang dibuat dari angka yang diketahui dan
1. terdiri dari 2 angka
2. terdiri dari 2 tetapi tidak mempunyai angka yang sama.

Jawab
Karena bilangan yang diminta terdiri dari 2 angka , kita sediakan 2 kotak yang akan kita isi dengan jumlah semua kemungkinan dari tiap-tahap.
1. Kemungkinan angka puluhan adalah salahsatu dari angka yang diketahui yaitu sebanyak 7. Demikian pula kemungkinan angka satuan juga ada 7. Kemudian kita isikan ke masing-masing kotak dan banyaknya kemungkinan adalah 7.7 = 49.

2. Kemungkinan angka puluhan adalah salah satu dari angka yang diketahui yaitu sebanyak 7. Karena tidak boleh mempunyai angka yang sama, maka setelah satu angka dipakai untuk puluhan, kemungkinan angka satuan hanya ada 6. Dengan demikian jumlah kemungkinan adalah 7.6 = 42

Contoh
Diketahui bilangan 2592. Tentukan banyaknya pembagi dari bilangan ini termasuk 1 dan 2592.

Jawab
Seperti pada masalah bilangan yang lain, pertama kita ubah bilangan tersebut dalam uraian faktor prima, yaitu . Kemudian pembagi 2592 mempunyai bentuk  dengan a = 0,1,2,3,4,5. dan b = 0,1,2,3,4. Jadi , masalah menentukan banyaknya pembagi sama saja dengan menentukan banyaknya pasangan (a,b) dengan a dan b bilangan di atas. Dalam hal ini adalah 6 x 5 = 30.

Contoh
Misalkan ada 3 orang utusan dari kelas X, 4 orang utusan kelas XI, dan 2 orang utusan kelas XII. Dari utusan ini akan dipilih dua orang utusan untuk keluar sekolah. Utusan ini tidak boleh dari kelas yang sama. Tentukan banyaknya kemungkinan utusan ini (tidak memperhatikan urutan).

Jawab.
Kombinasi utusan ini adalah dari
1. kelas X dan kelas XI
2. kelas X dan kelas XII
3. kelas XI dan kelas XII
sekarang kita akan menghitung lebih lengkap
1. Misalkan satu utusan diambil dari kelas X dan yang lain dari kelas XI, maka berdasarkan prinsip perkalian ada 3.4 = 12 kemungkinan.
2. Jika satu utusan diambil dari kelas X dan satu utusan diambil dari kelas XII, maka ada 3.2 = 6 kemungkinan.
3. Jika satu utusan diambil dari kelas XI dan satu utusan diambil dari kelas XII, maka ada 4.2 = 8 kemungkinan.
Karena ketiga kemungkinan merupakan himpunan yang saling lepas, maka jumlah semua kemungkinan adalah jumlah ketiga himpunan yaitu : 12 + 6 + 8 = 26 kemungkinan.

Permutasi
Permutasi n unsur yang berbeda adalah susunan n unsur dengan memperhatikan urutan.
Permutasi n unsur dari unsur yang tersedia, nPn=(n).(n-1).(n-2)…(3)(2).(1)=n!
lambang n! dibaca n faktorial.

Definisi : jika n bilangan asli, maka n! adalah :
n! = 1.2.3….(n-1)(n)
0! = 1
contoh :
3P3 = 3! = 1.2.3 = 6
6P6 = 6! = 1.2.3.4.5.6 = 720
sifat :

Permutasi r unsur dari n unsur berbeda dengan 

Contoh
Tentukan banyaknya permutasi dari dua angka yang diambil dari 1,2,3,4,5.

Jawab.
Dalam contoh ini yang ditanyakan adalah permutasi dua angka dari lima angka. Jumlah total permutasi tersebut adalah

Contoh
Empat orang masuk ke dalam bus dan tersedia 10 tempat duduk yang masih kosong. Tentukan banyak semua kemungkinan posisi empat orang tersebut duduk.

Jawab
Masalah ini merupakan permutasi empat tempat duduk terisi dari 10 tempat duduk kosong, yaitu sebanyak

Contoh
Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari paling banyak 3 angka dengan bilangan yang terbentuk tidak mempunyai angka kembar dan diambilm dari angka di susunan1,2,3,4,5,6,7,8.

Jawab
Karena bilangan yang diminta paling banyak terdiri 3 angka, maka bisa kita pilah menjadi 3 bagian
1). bilangan yang terbentuk terdiri dari 1 angka, sehingga banyaknya permutasi dari 1 unsur dari 8 unsur yang diketahui

2). bilangan yang terbentuk terdiri 2 angka, sehingga banyaknya permutasi 2 unsur dari 8 unsur yang diketahui

3). bilangan yang terbentuk terdiri dari 3 angka, sehingga banyaknya permutasi 3 unsur dari 8 unsur yang diketahui

2.      Teorema Binomial

Di aljabar, penjumlahan dua suku, seperti a + b, disebut binomial. Teorema binomialmemberikan bentuk ekspansi dari pangkat binomial (a + b)ⁿ, untuk setiap n bilangan bulat tidak negatif dan semua bilangan real a dan b.

Perhatikan apa yang terjadi ketika kita menghitung beberapa pangkat yang pertama dari a+ b. Berdasarkan sifat distributif, kita mendapatkan bahwa pangkat dari a + b merupakan penjumlahan dari suku-suku yang berupa kombinasi perkalian dari a dan b. Perhatikan ilustrasi berikut.

Sekarang perhatikan ekspansi dari (a + b)⁴. Suku-suku dari ekspansi ini diperoleh dengan mengalikan satu dari dua suku faktor pertama dengan satu dari dua suku faktor kedua dengan satu dari dua suku faktor ketiga dan dengan satu dari dua suku faktor keempat. Sebagai contoh, suku abab diperoleh dengan mengalikan suku-suku a dan b yang ditandai dengan tanda panah.

Karena ada dua kemungkinan a dan b dari setiap suku yang dipilih pada 1 dari 4 faktor suku-suku ekspansi binomial, maka akan ada 2⁴ = 16 suku ekspansi (a + b)⁴.

Selanjutnya, suku-suku serupa, yaitu suku-suku yang memiliki faktor a dan b sama banyak dapat dikombinasikan karena perkalian bersifat komutatif. Tetapi kita perlu mengetahui banyaknya masing-masing suku yang serupa tersebut. Sebagai contoh kita akan menentukan banyaknya suku yang terdiri dari tiga a dan satu b. Untuk menentukan banyaknya suku ini sama dengan menentukan banyaknya cara kita mengambil 1 bilangan 1 sampai 4 sebagai nomor urut dari faktor b. Salah satu contohnya kita mungkin mendapat bilangan 3 yang merepresentasikan aaba (3 merupakan nomor urut dari b, sedangkan sisanya menjadi nomor urut a). Contoh lain, kita mungkin mendapat bilangan 1 yang merepresentasikan baaa. Sehingga banyaknya suku yang terdiri dari tiga a dan satu b adalah kombinasi 1 dari 4 yaitu 4. Semua suku yang terdiri dari tiga a dan satu b adalah aaab, aaba, abaa, dan baaa.

Berdasarkan sifat komutatif dan asosiatif perkalian, keempat suku tersebut memiliki nilai yang sama dengan a³b. Karena suku-suku yang sama dengan a³b berjumlah 4, maka koefisien dari a³b adalah 4, yang diperoleh dari kombinasi 1 (pangkat dari salah satu faktor a³b, yaitu b) dari 4 (jumlah pangkat dari semua faktor a³b).

Dengan cara yang sama, kita akan mendapat 6 (diperoleh dari kombinasi 2 dari 4) suku yang terdiri dari dua a dan dua b, yaitu aabb, abab, abba, baab, baba, dan bbaa. Sehingga koefisien dari suku a²b² adalah 6. Cara ini juga berlaku untuk menentukan koefisien dari suku-suku ekspansi (a + b)⁴ lainnya.

Teorema binomial menggeneralisasi rumus di atas untuk sembarang pangkat n bilangan bulat tidak negatif.

Teorema Binomial
Diberikan sembarang bilangan real a dan b, serta bilangan bulat tidak negatif n,

Perhatikan bahwa bentuk kedua dan pertama pada persamaan di atas adalah sama, karena kombinasi 0 dari n sama dengan satu, demikian juga dengan kombinasi n dari n. Untuk lebih memahami mengenai penggunaan teorema binomial dalam pemecahan masalah, perhatikan contoh berikut.

Contoh: Penggunaan Teorema Binomial dalam Pemecahan Masalah

Dengan menggunakan teorema binomial, tunjukkan bahwa

untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

Pembahasan Karena 2 = 1 + 1, maka 2ⁿ = (1 + 1)ⁿ. Dengan menerapkan teorema binomial dengan a = 1 dan b = 1, diperoleh

Karena 1^n – k = 1 dan 1^k = 1. Akibatnya,

Apabila diperhatikan, rumus di atas sama dengan banyaknya semua himpunan bagian dari himpunan yang memiliki n anggota/elemen, karena setiap himpunan bagian tersebut terdiri dari kombinasi 0, 1, 2, …, n dari n yang merupakan banyaknya anggota dari himpunan tersebut. 

jadi cukup sekian yang dapat saya jelaskan atas kurang lebihnya saya mohon maaf dan saya ucapkan 

semoga bermanfaat.....

daftar pustaka :

https://yos3prens.wordpress.com/2013/11/08/teorema-binomial/

https://matematikasmansaka.wordpress.com/rumus/kombinatorik/